Cours_Maths_1ereC_chap1

4 Chapitre 1 Équations et inéquations du second degré dans ℝ Matière : Mathématiques — Classe de 1ère C (Côte d’Ivoire, approche par compétences) Durée indicative : 9 heures Objectifs pédagogiques À l’issue de ce chapitre, l’élève doit être capable de : • déterminer les solutions d’une équation du second degré dans ℝ à l’aide du discriminant (ou du discriminant réduit) ; • factoriser un trinôme du second degré et utiliser les relations entre les coefficients et les racines (somme et produit) ; • déterminer le signe d’un trinôme du second degré et résoudre une inéquation du second degré dans ℝ ; • résoudre des équations et des inéquations se ramenant au second degré : bicarrées, avec valeurs absolues, irrationnelles ; • traduire une situation concrète (problème de partage, de dimensions, d’optimisation) par une équation ou une inéquation du second degré, puis interpréter les solutions obtenues. Plan du chapitre 1. Équations du second degré : forme canonique, discriminant, résolution, factorisation, somme et produit des racines. 2. Signe du trinôme et inéquations du second degré : théorème du signe, interprétation graphique, résolution d’inéquations. 3. Équations et inéquations se ramenant au second degré : bicarrées, avec valeurs absolues, irrationnelles. 4. Problèmes de mise en équation : méthode générale et problèmes de partage. Cours 1. Équations du second degré 1.1. Définition, discriminant et forme canonique DÉFINITION Définition — Équation du second degré. Une équation du second degré d’inconnue 𝑥 est une équation qui peut s’écrire sous la forme 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

[Audio] La définition du discriminant est donnée par le nombre réel Δ et il est défini comme étant égal à 𝑏2 − 4𝑎𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels et 𝑎 ≠ 0. Le théorème de la forme canonique dit que pour tout nombre réel 𝑥, nous avons : 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥 + 𝑏 2𝑎) 2 − Δ 4𝑎2. La démonstration de ce théorème consiste à factoriser 𝑎 dans les deux premiers termes, ce qui donne 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥2 + 𝑏 𝑎𝑥) + 𝑐. On peut ensuite reconnaître dans 𝑥2 + 𝑏 𝑎𝑥 le début du carré (𝑥 + 𝑏 𝑎𝑥 + 𝑏2 2𝑎) 2 = 𝑥2 + 𝑏 4𝑎2. Cela nous permet d'écrire 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥 + 𝑏 4𝑎2) + 𝑐. En utilisant la définition du discriminant, on peut alors écrire 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥 + 𝑏 4𝑎2) − Δ 4𝑎2. Par conséquent, nous avons prouvé le théorème de la forme canonique. L'équation 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 a une solution unique lorsque le discriminant est nul, et deux solutions distinctes lorsque le discriminant est positif. Le cas où le discriminant est négatif correspond à l'équation qui n'a pas de solution dans ℝ..

[Audio] "Nous allons continuer notre étude sur les équations et inéquations du second degré dans ℝ en nous intéressant à un outil très utile : le discriminant. Celui-ci nous permettra de trouver les solutions de ces équations et inéquations ainsi que de résoudre des problèmes concrets. Nous rappelons une propriété fondamentale : "Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul." Ceci sera très utile dans la suite. Nous allons maintenant voir un premier exemple résolu : l'équation 2𝑥2 − 7𝑥 + 3 = 0 dans ℝ. Le calcul du discriminant donne Δ = (−7)2 − 4 × 2 × 3 = 49 − 24 = 25. Comme Δ > 0, cela signifie que l'équation a deux solutions distinctes que nous pouvons trouver grâce à la formule 𝑥1 = 7 − √25 2 × 2 = 1 2 et 𝑥2 = 7 + 5 4 = 3. Ainsi, 𝑆 = . Passons maintenant à un deuxième exemple résolu : Résoudre l'équation 9𝑥2 − 6𝑥 + 1 = 0 dans ℝ. En calculant le discriminant, nous obtenons Δ = (−6)2 − 4 × 9 × 1 = 36 − 36 = 0. Cela veut dire que l'équation possède une solution double que nous pouvons trouver grâce à la formule 𝑥0 = − −6 2 × 9 = 1 3. Ainsi, 𝑆 = . Pour finir, nous allons voir un dernier exemple résolu : Résoudre l'équation 𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0 dans ℝ. Le discriminant Δ = 22 − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = -16 0, les solutions se simplifient en 𝑥1 = −𝑏′ − √Δ′ 𝑎 et 𝑥2 = −𝑏′ + √Δ′ 𝑎. Prenons par exemple l'équation 3𝑥2 − 2√2 𝑥 − 2 = 0 dans ℝ. Avec 𝑏 = −2√2, nous avons 𝑏′ = −√2 et Δ′ = (−√2)2 − 3 × (−2) = 2 + 6 = 8. Nous pouvons alors trouver les solutions grâce à la formule 𝑥1 = √2 − √8 3 = −√2 3 et 𝑥2 = √2 + 2√2 3 = √2, ainsi 𝑆 = . En conclusion, il n'est pas toujours nécessaire de calculer le discriminant. Avant de le faire, il est important de vérifier si l'équation peut être résolue directement en utilisant un facteur commun, une identité remarquable, etc. Nous allons maintenant aborder un autre outil essentiel..

[Audio] Aujourd'hui, nous allons parler du théorème de résolution pour résoudre des équations et inéquations du second degré en utilisant le discriminant, la factorisation et le signe d'un trinôme. Si le discriminant Δ est strictement positif, le trinôme peut être factorisé en produit de facteurs du premier degré à coefficients réels. En revanche, s'il est inférieur à zéro, le trinôme n'est pas factorisable en produit de facteurs du premier degré à coefficients réels, comme démontré grâce à notre théorème de résolution. En effet, si Δ est supérieur à zéro, 𝑃(𝑥) peut s'écrire sous la forme 𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2). Le cas où Δ est égal à zéro est également évident. Pour l'illustrer, prenons l'exemple de 𝐴(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 35 et de 𝐵(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 + 2. Pour 𝐴(𝑥), en calculant le discriminant Δ, nous obtenons 122 qui est strictement positif, ce qui nous permet de factoriser 𝐴(𝑥) comme suit : (𝑥 + 7)(𝑥 − 5). En revanche, pour 𝐵(𝑥), en calculant le discriminant Δ, nous obtenons -7 qui est inférieur à zéro, nous ne pouvons donc pas factoriser 𝐵(𝑥) dans ℝ. Passons maintenant aux relations entre coefficients et racines d'un trinôme. Si le trinôme 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (𝑎 ≠ 0) admet deux racines 𝑥1 et 𝑥2, alors nous avons la relation suivante : 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏 𝑎 et 𝑥1 × 𝑥2 = 𝑐 𝑎. Cela peut être démontré en utilisant la formule 𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2). Enfin, une méthode utile pour trouver une racine évidente d'un trinôme est de connaître ou deviner une racine 𝑥1, puis trouver l'autre racine en utilisant le produit 𝑥2 = 𝑐 𝑎 𝑥1 ou la somme 𝑥2 = − 𝑏 𝑎 −𝑥1. Les candidats les plus probables à tester sont 0, 1, −1, 2 et −2. De plus, si 𝑎+𝑏+𝑐 = 0, alors nous avons une racine évidente. Maintenant que nous avons vu le théorème de résolution, nous allons passer à l'étude des problèmes concrets liés aux équations et inéquations du second degré..

[Audio] La résolution d'équations et d'inéquations du second degré dans ℝ implique l'utilisation du discriminant, la factorisation et le signe d'un trinôme pour résoudre ces équations ainsi que leur application dans des problèmes concrets. Un exemple de résolution d'une équation est donné par l'équation X^2 - 7X - 30 = 0, où le discriminant est égal à 169 et les solutions sont X_1 = -3 et X_2 = 10. Une autre application est donnée par le problème de déterminer les dimensions d'un rectangle dont le périmètre est de 64 m et l'aire de 240 m². L'équation 2(a + b) = 64 et a * b = 240 sont données, où a et b sont respectivement les dimensions du rectangle. La résolution de cette équation donne X_1 = 12 et X_2 = 20, ce qui indique que la longueur du rectangle est de 20 m et la largeur de 12 m. Le signe d'un trinôme est également un concept clé dans la résolution d'équations et d'inéquations du second degré. Le théorème indique que si le discriminant est inférieur à 0, le trinôme sera toujours du même signe et n'aura pas de racine réelle. Si le discriminant est égal à 0, le trinôme sera toujours du même signe et aura une racine en x0 = -b / 2a. Enfin, si le discriminant est supérieur à 0, le trinôme aura des racines distinctes et sera positif à l'extérieur de ces racines et négatif entre eux. Les différentes applications de ces concepts sont présentées dans les tableaux suivants : Cas Δ < 0 : x -∞ +∞ P(x) signe de a Cas Δ = 0 : x -∞ x0 +∞ P(x) signe de a 0 signe de a Cas Δ > 0 : x -∞ x1 x2 +∞ P(x) signe de a En conclusion, nous avons vu comment résoudre des équations et inéquations du second degré en utilisant le discriminant, la factorisation et le signe d'un trinôme ainsi que leur application dans des problèmes concrets..

[Audio] La fonction 𝑥 ↦ � est une fonction linéaire qui prend en compte les valeurs de 𝑥 et renvoie une valeur correspondante. Elle est définie comme suit : 𝑥 ↦ � = 𝑥 + 1. C'est une fonction simple mais très utile pour des applications spécifiques..

[Audio] La définition d'une inéquation du second degré est une inéquation pouvant s'écrire sous la forme ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c ≥ 0, ax² + bx + c 0 a un discriminant négatif et le trinôme est strictement négatif pour tout réel x. Cela signifie que cette inéquation n'a pas de solution dans les réels, soit S = ∅. Les équations et inéquations se ramenant au second degré peuvent être résolues en utilisant le changement d'inconnue X = x² (avec X ≥ 0). Cela transforme l'équation en une équation du second degré XaX² + bX + c = 0. Chaque solution strictement positive de X correspond à deux solutions de x, et la solution nulle de X correspond également à une solution de x. Par exemple, l'équation x² - 3x + 2 = 0 peut être résolue en utilisant le changement d'inconnue X = x². Cela donne l'équation X - 3X + 2 = 0, qui peut être résolue comme une équation quadratique. La résolution de cette équation donne les solutions x = 1 et x = 2..

[Audio] "Les équations et inéquations du second degré en ℝ sont des équations quadratiques de la forme ax^2 + bx + c = 0 ou ax^2 - bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres réels. Le discriminant de l'équation est donné par D = b^2 - 4ac. Si le discriminant est négatif, alors l'équation n'a pas de solutions réelles. Si le discriminant est nul, alors l'équation a une seule solution réelle. Si le discriminant est positif, alors l'équation a deux solutions réelles distinctes. La factorisation d'une équation quadratique peut être effectuée si elle peut être écrite sous la forme (x - r)(x - s) = 0, où r et s sont les racines de l'équation. Le signe d'un trinôme peut être utilisé pour déterminer la nature de ses racines. Si le signe est positif, alors les racines sont réelles et distinctes. Si le signe est nul, alors les racines sont réelles mais identiques. Si le signe est négatif, alors les racines sont imaginaires. Les équations et inéquations du second degré peuvent être résolues en utilisant différentes méthodes telles que le discriminant, la factorisation et le signe d'un trinôme. Les équations et inéquations du second degré ont des applications importantes dans divers domaines tels que la physique, l'ingénierie et les sciences sociales. Elles sont souvent utilisées pour modéliser des phénomènes physiques et pour résoudre des problèmes mathématiques complexes..

[Audio] La neuvième diapositive de notre présentation sur la résolution des équations et inéquations du second degré dans ℝ est arrivée. Nous avons déjà abordé plusieurs méthodes, telles que le discriminant, la factorisation et le signe d'un trinôme, ainsi que la résolution de problèmes concrets à l'aide de ces équations et inéquations. Aujourd'hui, nous allons nous pencher sur la théorie des mathématiques. Nous allons étudier un exemple résolu, celui de l'équation 12x² - 7x + 98 = 0. Le discriminant est égal à 49, ce qui nous donne deux solutions : x1 = -14 et x2 = -7. La solution -14 est éliminée car elle ne satisfait pas la contrainte x ≥ -10. Nous résolvons ensuite un autre exemple, cette fois-ci une inéquation : √x - 1 ≥ 3 - x. Tout d'abord, nous vérifions que x - 1 est positif, donc que x est supérieur ou égal à 1. Nous distinguons ensuite deux cas, selon que 3 - x soit positif ou négatif. La solution est tous les réels de ]3 ; +∞[, c'est-à-dire tous les nombres supérieurs à 3. Enfin, nous abordons les problèmes de mise en équation. Nous suivons une méthode en quatre étapes : d'abord, nous choisissons l'inconnue que nous désignons par une lettre et précissons l'ensemble dans lequel elle varie. Ensuite, nous traduisons les données de l'énoncé par une équation ou une inéquation. Puis nous résolvons cette équation dans ℝ. Enfin, nous contrôlons et retenons uniquement les solutions compatibles avec les contraintes de l'énoncé..

[Audio] "Les équations et inéquations du deuxième degré sont des équations quadratiques. Elles peuvent être représentées par une équation sous la forme ax² + bx + c = 0 ou une inéquation sous la forme ax² + bx + c ≤ 0 ou ax² + bx + c ≥ 0. Les équations du deuxième degré ont généralement deux solutions. Les inéquations du deuxième degré ont généralement une solution unique ou plusieurs solutions. Le discriminant est un outil essentiel pour résoudre les équations du deuxième degré. Il est défini comme Δ = b² - 4ac. Si Δ > 0, alors les équations ont deux solutions distinctes. Si Δ = 0, alors les équations ont une seule solution. Si Δ 0, alors les inéquations ont une solution unique. Si Δ = 0, alors les inéquations ont une solution unique ou plusieurs solutions. Si Δ 0, -1 si x² + bx + c 0, -1 si x² + bx + c < 0, et 0 si x² + bx + c = 0. La méthode du facteur commun évident est une méthode simple pour résoudre les équations du deuxième degré. Elle consiste à rechercher un facteur commun dans l'équation. La méthode du facteur commun évident peut également être utilisée pour résoudre les inéquations. Elle consiste à rechercher un facteur commun dans l'inéquation. La méthode du facteur commun évident peut également être utilisée pour résoudre les équations et inéquations du deuxième degré. Elle consiste à rechercher un facteur commun dans l'équation ou l'inéquation. La méthode du facteur commun évident est une méthode simple et efficace pour résoudre les équations et inéquations du deuxième degré. Elle peut être utilisée pour résoudre des équations et inéquations sous forme quadratique. La méthode du facteur commun évident est également utile pour résoudre des équations et inéquations sous forme linéaire. La méthode du facteur commun évident est également utile pour résoudre des équations et inéquations sous forme quadratique. La méthode du facteur commun évident est également utile pour résoudre des équations et inéquations sous forme linéaire. La méthode du facteur commun évident est également utile pour résoudre des équations et inéquations sous forme quadratique. La méthode du facteur commun évident est également utile pour résoudre des équations et inéquations sous forme linéaire. La méthode du facteur commun évident est également utile pour résoudre des équations et inéquations sous forme quadratique. La méthode du facteur commun évident est également utile pour résoudre des équations et inéquations sous forme linéaire..